Pengukuran Penyimpangan

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

 Rentangan (range)

Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;

Rumus : data tertinggi – data terendah 

Contoh : data nilai UAS Statistika

Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

Langkah-langkah menjawab :

Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

 

dimana xi merupakan nilai data

VARIANS

Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi.

            Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

Standar Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

• Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut.
• Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut.
• Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.

Varians dan Standar Deviasi data Kelompok

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok

Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

Kegunaan deviasi rata-rata dan deviasi standar

Baik deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data dan untuk mengetahui homogenitas data.

 Daftar Pustaka:

1.   http://ar-ridhwank.blogspot.com/2012/10/statistika-pengukuran-penyimpangan.html
2. http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/
3. http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html

Pengukuran Gejala Pusat

A. Rata-rata Hitung (Mean)

Statistik yang paling banyak digunakan ukuran gejala pusat adalah Rata-rata hirung (Mean). Rata-rata hitung didefinisikan sebagai jumlah semua skor untuk variabel dan kemudian dibagi dengan jumlah pengamatan. Oleh karena itu, rumus untuk rata-rata hitung adalah sebagai berikut:

                                                                    

Sebagai contoh, mengambil data yang disajikan dalam Tabel :

                                          

Jumlah pengamatan (ΣX) adalah 1 + 5 + 7 + 2 + 10 + 4 + 6 + 5 + 4 + 6 = 50. Lalu, kita membagi nilai ini dengan n, yang pada contoh ini adalah 10 karena kita memiliki 10 pengamatan. Jadi, 50/10 = 5. Rata-rata hitung untuk set pengamatan ini adalah 5. Software statistik SPSS menyediakan beberapa cara untuk menghitung rata-rata untuk sebuah variabel. Perintah Mean dapat ditemukan di bawah Descriptives, kemudian Frequencies, Explore, dan akhirnya Mean. Selain itu, rata-rata dapat menjadi tambahkan output untuk perhitungan lainnya,seperti regresi ganda. Output untuk mean Descriptives disajikan pada Gambar :

                                       

Seperti yang terlihat pada output, variabel “titik data” memiliki total 10 observasi (dilihat di bawah kolom N), nilai terendah dalam kumpulan data adalah 1, nilai tertinggi adalah 10, rata-rata adalah 5, dan standar deviasi 2,539.
Ada dua masalah utama yang perlu Anda ketahui ketika menggunakan rata-rata hitung.

Rata-rata hitung dapat dipengaruhi oleh outliers, atau data nilai-nilai yang berada di luar jangkauan mayoritas titik data. Outliers dapat menarik mean menuju daerah outliers, sehingga menghasilkan nilai Mean yang bias. Sebagai contoh, jika data yang ditetapkan dalam Gambar 1 termasuk data titik (yang akan pengamatan 11) dari 40,mean akan menjadi 8.2. Jadi, ketika kumpulan data sangat miring, itu dapat lebih signifikan untuk menggunakan ukuran gejala pusat yang lain (misalnya, median atau modus).

Rata-rata hitung sulit untuk ditafsirkan ketika variabel yang dihitung adalah variabel nominal dengan dua tingkatan (misalnya, jenis kelamin) dan tidak signifikan ketika ada lebih dari dua tingkat atau kelompok untuk suatu variabel (misalnya, etnis). Mean akan konsisten saat pengukuran dengan pengulangan (repeated measures) pada variabel yang sama, rata-rata hitung cenderung untuk tidak berubah secara radikal (selama tidak ada ekstrim outliers dalam kumpulan data).

B. Modus

Modus merupakan fenomena yang paling banyak terjadi. Modus paling banyak digunakan pada penelitian kualitatif. Dalam penelitian kualitatif, hal yang paling banyak menyebabkan suatu keadaan sering di anggap penyebab keadaan tersebut. Misalnya kebanyak kecelakaan lalulintas disebabkan oleh pengemudi yang mabuk. Pengemudi yang mabuk dalam hal ini adalah “modus”. Dalam data berbentuk kuantitatif, modus sangat mudah untuk dideteksi. Dengan melihat data kita tinggal menentukan angka berapa yang paling sering muncul. Angka yang sering muncul itulah yang kita sebut dengan modus.
Pada data nilai siswa pada mata pelajaran sejarah kebudayaan Islam di atas terlihat bahwa angka yang paling sering muncul adalah 67 yang muncul sebanyak tiga kali dan tidak ada yang muncul sebanyak itu dari data yang lain. Akan tetapi pada data yang telah tersusun dalam tabel frekuensi, modus dapat di cari dengan menggunakan rumus:

Keterangan:

b= batas bawah kelas modus yaitu kelas yang memiliki frekuensi terbanyak

p= panjang kelas modus

b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus

Misalnya dari tabel frekuensi di atas kita dapat menghitung modusnya. Dengan memperhatikan tabel kita akan menemukan

b = 70,5

p = 10

b1 = 7 – 5 = 2

b2 = 7 – 3 = 4

Dengan memasukkan data tersebut ke dalam rumus akan kita dapatkan

Kembali kita menemukan bahwa menghitung modus pada data berkelompok berbeda dengan menghitung modus pada data tunggal. Aspek ramalan yang kita gunakan pada penentuan modus dengan menggunakan data berkelompok turut menentukan hasil modus yang kita temukan. Ternyata menentukan modus dengan tidak mengelompokkan data lebih tepat daripada kita mengelompokkan data terlebih dahulu.

C. Median

Median adalah datum yang membagi data menjadi dua kelompok, 50 persen data kurang dari nilai median dan 50 persen data lebih besar dari median. Pada data tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yang telah diurutkan itu merupakan nilai median.

Bagaimana menentukan nilai median dari data berkelompok? Bagaimana penurunan formula nilai median untuk data berkelompok hingga menjadi rumus sebagai berikut:

di mana:

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,

Me = nilai median,

n = banyaknya data,

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,

f0 = frekuensi kelas yang memuat median,

c = panjang intreval kelas.

Perhatikan Tabel berikut:

 

Bentuk histogram dari Tabel Di atas adalah:

 

Oleh karena banyaknya data 64, maka nilai median jatuh pada data ke-32. Garis merah horizontal menunjukkan posisi data ke-32 sementara garis hijau muda vertikal menunjukkan median data berkelompok dari data di atas. Jumlah kumulatif hingga kelas limit ketiga adalah 22. Berarti, posisi median berada pada data ke-10 (32 – 22) pada kelas limit keempat. Bilangan ini diperoleh dari (n/2 – Fk).

Median data berkelompok dihitung berdasarkan interpolasi dari posisi data pada kelas limit yang mengandung median. Secara matematis, persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:

 

 

Sehingga dengan manipulasi matematik akan diperoleh persamaan:

 

Di mana: Lu – Lo menyatakan panjang interval kelas c dan Fk* – Fk menunjukkan frekuensi kelas limit median f0. Dengan demikian, median data berkelompok yang dihasilkan sama dengan:

 

Demikian asal muasal median untuk data berkelompok.

Sumber :

·       http://vesterstatistics.blogspot.com/2010/02/rata-rata-hitung-mean.html

·       http://statistikpendidikanii.blogspot.com/2008/04/modus-merupakan-fenomena-yang-paling.html

·       http://anamsyaifulnews.blogspot.com/2012/10/mean-modus-median.html

·       http://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/07/iii-ukuran-gejala-pusat2.doc